(1 pont) F is elsőfokú gömb, ezért F is csak A-val van összekötve. (1 pont) Ezek szerint B csak A-val, C-vel, D-vel és E-vel lehet összekötve, vagyis nem lehet ötödfokú. (1 pont) d) Mindegyik felhasznált pálcika két gömböt köt össze, így az egyes csúcsokból induló pálcikákat megszámolva minden felhasznált pálcikát kétszer számolunk meg. (1 pont) Így az összes (jól) feljegyzett szám összege éppen kétszerese a pálcikák számának. (1 pont) 6 5 3 3 2 2 1 11 A pálcikák száma tehát: (1 pont) 2 A pálcikák száma gráfos indoklással is megadható (a csúcsok fokszámösszege az élek számának kétszerese. ) Összesen: 17 pont 19) Tekintsünk két egybevágó, szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúlát, melyek alapélei 2 cm hosszúak, oldalélei pedig 3 cm-esek. A két gúlát alaplapjuknál fogva összeragasztjuk (az alaplapok teljesen fedik egymást), így az ábrán látható testet kapjuk. a) Számítsa ki ennek a testnek a felszínét (cm2-ben) és a térfogatát (cm3-ben)! Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
(8 pont) b) A négyzet alapú dobozban a fagolyók közötti teret állagmegóvási célból tömítő anyaggal töltik ki. A doboz térfogatának hány százalékát teszi ki a tömítő anyag térfogata? (4 pont) Megoldás: a) A négyzet alapú doboznál: Talap 64 cm2 Toldal 128 cm2 Az anyagszükséglet 1, 1 128 64 211, 2 cm2 papír, és 1, 1 64 70, 4 cm2 fólia. A téglalap alapú doboznál: Talap 64 cm2 Toldal 4 32 8 =160 cm2 Az anyagszükséglet 1, 1 224 246, 4 cm2 és 70, 4 cm2 fólia. b) A doboz térfogata 8 8 4 256 cm3 4 23 A négy golyó térfogata együtt: 4 134 cm3 3 256 134 122 122 A keresett arány: 100 47, 66 48%. 256 (2 pont) Összesen: 12 pont 5) Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): 42 cm, 25 cm és 3 dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 20 liter vizet? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: V 42 25 30 31500 cm3 31, 5 dm3 31, 5 liter Az akvárium nem telik meg. 6) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének.
1) Mekkora egy 2 cm élű kocka térfogata? a) 4 cm3 b) 8 cm3 c) 16 cm3 d) 24 cm3 2) Mekkora egy 2 cm élű kocka felszíne? a) 4 cm2 b) 8 cm3 c) 8 cm2 d) 24 cm3 e) 24 cm2 3) Egy négyzetes oszlop alapéle 3 cm. Térfogata72 cm3. Milyen magas az oszlop? a) 4cm b) 6cm c) 8cm d) 9cm 4) Három kocka élei egyenként 1 cm, 2cm és 3 cm. Mekkora a három kocka össztérfogata? a) 48 cm3 b) 24 cm3 c) 36 cm3 d) 9cm³ 5) Egy téglatest alakú doboz élei 10 cm, 10 cm és 20 cm. Hány darab 5 cm élű kocka fér el a dobozban? a) 8 b) 16 c) 24 d) 25 6) Egy hagyományos Rubik kocka hány darab kis kockából áll? a) 9 b) 12 c) 27 d) 6 7) Hány hektoliter az akvárium térfogata, ha élei 2m, 1m, és 0, 5m hosszúak? a) 10hl b) 1000hl c) 1hl d) 2hl 8) Egy négyzetes oszlop alakú ceruzatartó alapéle 5cm, magassága 10cm. Mekkora a felszíne? a) 250cm³ b) 250cm² c) 225cm² d) 50cm² Ranglista Ez a ranglista jelenleg privát. Kattintson a Megosztás és tegye nyílvánossá Ezt a ranglistát a tulajdonos letiltotta Ez a ranglista le van tiltva, mivel az opciók eltérnek a tulajdonostól.
(1 pont) A gúla magassága: 3 M 12 6 3 10, 39 (cm). (1 pont) 2 A gúla oldallapjának a 12 cm-es oldalhoz tartozó magassága szintén 12 cm. (1 pont) 2 12 A gúla felszíne: A 122 4 (2 pont) 432 cm2. 2 122 6 3 A gúla térfogata: V (2 pont) 499 cm3. 3 b) Az adott sík a gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetihez hasonló gúlára 2 vágja szét, ahol a hasonlóság aránya . (2 pont) 3 Vlevágott gúla 2 3 8 A hasonló testek térfogatának aránya:, (1 pont) Veredeti gúla 3 27 A hasonló testek térfogatának aránya: 19: 27, (1 pont) azaz a keletkező testek térfogatának aránya 8: 19. (1 pont) c) (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a csonkagúla 2 fedőéle 12 8 (cm), alapéle 12 cm. (1 pont) 3 1 Egy oldallapjának magassága 12 4 (cm). (1 pont) 3 12 8 Egy oldallapjának területe: T (1 pont) 4 40 (cm2). 2 A csonkagúla felszíne: A 122 82 4 40 368 cm2. (2 pont) Összesen: 17 pont 21) Egy henger alakú bögre belsejének magassága 12 cm, belső alapkörének 1 átmérője 8 cm.
A test lapjait 1-től 8-ig megszámozzuk, így egy "dobó-oktaédert" kapunk, amely minden oldallapjára egyforma valószínűséggel esik. Egy ilyen test esetében is van egy felső lap, az ezen lévő számot tekintjük a dobás kimenetelének. (Az ábrán látható "dobóoktaéderrel" 8-ast dobtunk. ) (9 pont) b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy ezzel a "dobó-oktaéderrel" egymás után négyszer dobva, legalább három esetben 5-nél nagyobb számot dobunk! (8 pont) Megoldás: a) Az oldallap-háromszögekben a 2 cm-es oldalhoz tartozó magasság hossza (a Pitagorasz-tételt alkalmazva) 32 12 8 2, 83 (cm). 2 8 (1 pont) 2, 83 (cm2). 2 A test felszíne: A 22, 6 cm2. (1 pont) A testet alkotó gúlák magassága megegyezik annak az egyenlő szárú háromszögnek a magasságával, amelynek szára a gúlák oldalélével, alapja a gúla alapjának átlójával egyezik meg. (1 pont) Egy oldallap területe 2 2 A gúla m magasságára (a Pitagorasz-tételt alkalmazva): m 3 2 (1 pont) m 7 2, 65 (cm). (1 pont) 2 1 2 2 7 3, 53 (cm3).
144 b) Az egybevágó derékszögű háromszögek területe: T1 72 cm2 2 2 2x 3 A negyedik lap területe T2 4 124, 7 cm2 A papírdoboz felszíne A 3T1 T2 340, 7 341 cm2 (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 (1 (1 (1 pont) pont) pont) pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont 14) Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha minden élét háromszorosára növeljük? (2 pont) Megoldás: A kocka térfogata 27-szeresére nő. 15) Egy 12 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az egyik oldalával párhuzamos szimmetriatengelye körül. a) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (6 pont) 2 3 A felszínt egész cm -re, a térfogatot egész cm -re kerekítve adja meg! Ugyanezt a négyzetet forgassuk meg az egyik átlóját tartalmazó forgástengely körül! b) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (9 pont) 2 3 A felszínt egész cm -re, a térfogatot egész cm -re kerekítve adja meg! c) A forgástestek közül az utóbbinak a felszíne hány százaléka az első forgatással kapott forgástest felszínének?
Téglatest felszíne Feladat: Egy téglatest alakú doboz hosszúsága 10 cm, szélessége 4 cm, magassága 2 cm. A doboz minden lapját szeretnénk színes, öntapadós papírral bevonni. Mennyi színes papír szükséges ehhez? Megoldás: Tudjuk, hogy a téglatestet hat téglalap határolja, amelyek közül a két-két szemközti egybevágó. Vagyis három különböző alakú téglalapot kell bevonnunk. Ezeknek a téglalapoknak az oldalai a téglatest megfelelő éleinek hosszával egyenlők.